Vi håller på att översätta vår butik till svenska!
Men eftersom vi har många produkter och sidor tar det tid. Under tiden finns vår produktkatalog på engelska. Tack för ditt tålamod!
Beräkning av masscentrum - med exempel
Beräkning av masscentrum är ett viktigt steg i många uppgifter inom maskinteknik och i utformningen av maskiner och komponenter. Massans centrum indikerar var vikten av en kropp är koncentrerad och möjliggör därmed bestämning av krafterna och momenten i systemet. Denna artikel utforskar grunderna för att beräkna masscentrum och ger några verkliga exempel.
Vad är masscentrum?
Massans eller tyngdpunktens centrum är där hela kroppens vikt är koncentrerad. Det bestäms av var alla enskilda massor befinner sig i systemet och deras avstånd till ursprungsplatsen.
Massans centrum är ”attackpunkten” för gravitationen. Kroppen beter sig som en punktmassa i gravitationsfältet.
Viktigt - masscentrum kan också vara utanför kroppen. Till exempel på hemisfäriska skal. Ett vridmoment är ineffektivt när det utövas i tyngdpunkten.
För homogena kroppar (dvs. lika densitet överallt) motsvarar masscentrumet det geometriska tyngdpunkten (volymcentrum) - dessa kroppar tär så kallade triviala individuella massor. Tyngdpunkten hos homogena kroppar är därför lättast att bestämma.
Motsatsen till homogena kroppar är så kallade inhomogena kroppar - de har olika densiteter i kroppsdelarna. De kan inte betraktas som enskilda massor. Sådana kroppar måste delas in i lämpliga individuella massor, beräknas individuellt och slutligen förenas i hela systemet.
Massberäkningens centrum är viktigt i många tekniska tillämpningar.
Ett exempel är utformningen av en maskin och dess komponenter: här måste komponenternas tyngdpunkt väljas så att den övergripande maskinen är stabil och säker och vars komponenter är korrekt "balanserade".
Metoder för beräkning av masscentrum
Det finns olika metoder för att bestämma masscentrum beroende på geometrin och hur massan (densiteterna) fördelas i systemet.
- På homogena kroppar kan volymcentrum väljas som tyngdpunkt, förutsatt att alla densiteter fördelas jämnt.
- För inhomogena kroppar måste masscentrum bestämmas med hänsyn till alla punktdensiteter.
Generellt kan tyngdpunkten beräknas som summan av alla undermassor, multiplicerat med deras respektive avstånd till ursprunget, dividerat med den totala massan. Kroppen är uppdelad i ett begränsat antal underkvantiteter.
Moderna CAD-program eller FEM (finita elementmetoden) erbjuder sådana beräkningsmetoder för masscentrum som standardfunktioner.
Masscentrum och volymcentrum
Volymens centrum tar inte hänsyn till kroppens massa eller densitet. Volymens centrum är därför ett speciellt fall av masscentrum, givet enhetligt fördelad densitet i objektet.
Beräkningen av masscentrum kan förenklas för homogena kroppar.
Ansträngning och nytta av beräkningarna
En lämplig uppdelning i enskilda massor är inte alltid trivial - särskilt för icke-uniformt fördelade densiteter. Sådana problem kan lösas beräkningsmässigt och experimentellt. Resultatets noggrannhet förväntas bero på det genomförbara beräkningsdjupet eller mätnoggrannheten. Resultaten kan endast approximeras - ansträngning och nytta bör därför vägas mot varandra.
Masscentrum för homogena kroppar
För homogena kroppar som en kub eller cylinder kan tyngdpunkten lätt bestämmas av geometriska överväganden.
Symmetrier kan i detta fall användas för att förenkla problemet.
Massans centrum matchar den geometriska tyngdpunkten och beräknas enkelt. I detta exempel är masscentrum samtidigt centrum för det cirkulära området och det projicerade området för rektangeln.
Masscentrum för oregelbundet formade föremål eller inhomogena objekt
För oregelbundet formade objekt måste man överväga varje punkt (punktdensitet) individuellt, och dess bidrag till den totala massan måste beräknas.
Detta tillvägagångssätt kallas också integration.
Polyeder med jämnt fördelad densitet
Kroppens geometriska tyngdpunkt beräknas genom att dela upp kroppen i lämpliga partiella kroppar. Tyngdpunkterna hos dessa partiella kroppar beräknas och viktas sedan över andelen av området eller volymen.
Den geometriska tyngdpunkten är masscentrum.
Polyeder med ojämnt fördelad densitet
Kroppens geometriska tyngdpunkt med ojämnt fördelad densitet är identisk med kroppens geometriska tyngdpunkt med jämnt fördelad densitet.
Den geometriska tyngdpunkten ligger inte i masscentrum.
Kroppen måste delas upp i lämpliga partiella kroppar och deras individuella tyngdpunkter måste bestämmas baserat på formen och den ojämnt fördelade densiteten.
Massans centrum beräknas från de partiella kropparna med hänsyn till kroppsvolymen och kroppsmassorna
(x_s,y_s,z_s) = \frac{1}{M}\sum_i(x_{si}, y_{si}, z_{si})\cdot m_i
- M - Total massa
- mi - Partiell massa
- (xsi, ysi, zsi) - tyngdpunktskoordinater för partiell kropp 1 i det spatialt fixerade koordinatsystemet (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - tyngdpunktskoordinater för hela objektet i det spatialt fasta koordinatsystemet (x, y, z)
Explicit formel för masscentrum
Om man utför progressivt finare nedbrytningar, närmar sig delvolymer eller delmassor "noll". Som ett resultat konverteras ovanstående approximationsformel till en integral.
Tyngdpunkten kan således bestämmas mycket exakt:
x_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)xdV
y_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)ydV
z_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)zdV
- M - Total massa
- p(x, y, z) - Lokal densitet för materialet
- V - Komponentens volym
Masscentrum för sammansatta system
Sammansatta system består av flera sammankopplade enskilda kroppar som var och en har sin egen tyngdpunkt.
För att hitta den gemensamma tyngdpunkten för alla underobjekt måste var och en av dessa punkter vägas med motsvarande massa.
Exempel på beräkning: Kombinerad tyngdpunkt för två delsystem
Ett system bestående av två distinkta delsystem kombineras till en kombinerad tyngdpunkt.
x_s=\frac{x_{s1}\times m_1+x_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
y_s=\frac{y_{s1}\times m_1+y_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
z_s=\frac{z_{s1}\times m_1+z_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
- m1 - Delkroppsmassa 1
- (xs1, ys1, zs1) - tyngdpunktskoordinater för partiell kropp 1 i det spatialt fixerade koordinatsystemet (x, y, z)
- m2 - Delkroppsmassa 2
- (xs2, ys2, zs2) - tyngdpunktskoordinater för den partiella kroppen 1 i det spatialt fixerade koordinatsystemet (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - tyngdpunktskoordinater för hela objektet i det spatialt fasta koordinatsystemet (x, y, z)
Bestämma masscentrum experimentellt
Massans centrum kan också bestämmas experimentellt. Experimentella mätmetoder har vissa fördelar jämfört med rent teoretiska beräkningar:
- De är oberoende av den materiella modellen,
- de beaktar automatiskt alla felkällor,
- de tillhandahåller en direkt mätning som inte är beroende av antaganden eller uppskattningar.
Oscillationsmetod
Oscillationsmetoden bygger på principen om harmonisk oscillation. Det innebär att ett föremål hängs upp i en tunn tråd och sätts i oscillation. Vinkelhastigheten kan beräknas genom att mäta periodens varaktighet. Vinkelhastigheten kan sedan användas för att bestämma avståndet mellan upphängningspunkten och masscentrumet.
| Fördelar: |
|
| Nackdelar: |
|
Skalmetod
Denna metod placerar objektet som ska undersökas på en plattformsskala och mäter dess vikt. Samma procedur utförs sedan med en andra vikt för att mäta avståndet mellan båda punkterna. Multiplicering av viktkraften med avståndet resulterar i en momentekvation för bestämning av masscentrum.
| Fördelar: |
|
| Nackdelar: |
|
Lutningsmetod
Lutningsmetoden bygger på principen om statisk stabilitet. Objektet som ska undersökas placeras på en plan yta och testas för lutning genom att flytta vikter till olika positioner. Massans centrum kan då också bestämmas genom att bestämma gravitationsmittlinjen.
| Fördelar: |
|
| Nackdelar: |
|
